曲面上的Levi-Civita平移

我们知道，曲面上的测地线相当于平面上的直线。例如直线的曲率为0，而测地线的测地曲率为0；平面上两点之间最短距离是直线，曲面上在小范围内两点之间最短距离是测地线；平面上给定一个点与一个方向后能确定一条直线，曲面上给定一个点与一个方向后也能确定一条测地线。但直线还有一个性质，即直线上的切向量都是平行的，为了把这个性质推广到曲面上，必须先把平行的概念推广到曲面上。(下文均采用Einstein求和约定)。

​ 设平面上$\Pi$上有一个向量$\vec{a}$，它的起点位于曲线$\Gamma$上的点$P$处，将向量$\vec{a}$沿曲线$\Gamma$平移后得到一个沿曲线$\Gamma$分布的向量场，场中的向量都是平行的，我们将这种想法推广到曲面上。设曲面$\Sigma:{\vec{r}(u^1,u^2)}$上有一条曲线$u^i=u^i(s)$，$s$为曲线的弧长，记$\vec{r_1},\vec{r_2}$是取名在点$P$处切平面的两个基向量。设曲线上有一向量场$\vec{a}(s)=a^i(s)\vec{r_i}$(不妨设$a^i(s)$为关于s的光滑函数)。若果曲面是平面，并取$(u^1,u^2)$为直角坐标系，则向量场$\vec{a}(s)$中所有向量都平行的充要条件是$\frac{d\vec{a}}{ds}=0$。因此如果曲面是曲面，讨论向量场$\vec{a}(s)$中的向量是否平行，也需先考察$\frac{d\vec{a}}{ds}$，由Gauss公式有 $$ \frac{\mathrm{d}\vec{a}}{\mathrm{d}s}=\frac{\mathrm{d}a^i}{\mathrm{d}s}\vec{r_i}+a^i\vec{r_{ij}}\frac{\mathrm{d}u_j}{\mathrm{d}s}=(\frac{\mathrm{d}a^k}{\mathrm{d}s}+\Gamma_{ij}^ka^i\frac{\mathrm{d}u^j}{\mathrm{d}s})\vec{r_k}+a^i\frac{\mathrm{d}u^j}{\mathrm{d}s}b_{ij}\vec{n}. $$ 我们将$\frac{\mathrm{d}\vec{a}}{\mathrm{d}s}$投影到曲面的切平面上得到投影向量 $$ (\frac{\mathrm{d}a^k}{\mathrm{d}s}+\Gamma_{ij}^ka^i\frac{\mathrm{d}u^j}{\mathrm{d}s})\vec{r_k}, $$ 它是曲面上的向量，记 $$ D\vec{a}=(\mathrm{d}a^k+\Gamma_{ij}^ka^i\mathrm{d}u^j)\vec{r_k}, $$ 称它为$\vec{a}(s)$沿曲线的协变微分。由上式知，协变微分的概念只涉及曲面的额第一基本形式，因此属于曲面的内蕴概念。其余普通微分的关系是 $$ D\vec{a}=\mathrm{d}\vec{a}-b_{ij}a^i\mathrm{d}u^j\vec{n}. $$ 在一个平面上向量场是平行向量场的充要条件是$\mathrm{d}\vec{a}=0$，将其推广到曲面上。对于曲面$\Pi$上沿某曲线$\Gamma$的向量场$\vec{a}(s)$，如果$D\vec{a}=0$，我们称$\vec{a}(s)$是沿曲线$\Gamma$的平行向量场，即该向量场中的向量在Levi-Civita意义下是平行的，这个向量场中的向量可以看做是由向量$\vec{a}(s_0)$经过平行移动得到的，这种平移叫做Levi-Civita平移。由$D\vec{a}$的表达式知，$D\vec{a}=0$的充要条件是 $$ \mathrm{d}a^k+\Gamma_{ij}^ka^i\mathrm{d}u^j=0(k=1,2), $$ 如果去曲线的方程为$u^1=u^1(t),u^2=u^2(t)$($t$不一定为弧长参数)，则向量场$\vec{a}(s)$是沿曲线$\Gamma$平行的充要条件是 $$ \frac{\mathrm{d}a^k}{\mathrm{d}t}+\Gamma_{ij}^ka^i\frac{\mathrm{d}u^j}{\mathrm{d}t}=0(k=1,2) $$ 当给定初始条件$t=t_0,a^k(t_0)=a^k_0$时，上述微分方程组由唯一解$a^k(t)$。这说明在曲线上给定一点$P(t=t_0)$和一个向量$\vec{a_0}=a^1_0\vec{r_1}+a^2_0\vec{r_2}$，可以沿曲线$\Gamma$做Levi-Civita平移，得到一个唯一的向量场。把这个向量场叫做向量$\vec{a}(s_0)$沿$\Gamma$经过平行移动得到的向量场。

下面举例说明Levi-Civita平行移动的意义。

设单位球面方程为 $$ \vec{r}(\varphi,t)=(\sin\varphi\cos t,\sin\varphi\sin t,\cos\varphi), $$ 在它上面的一个纬圆的曲线方程为 $$ \vec{r}(t)=(\sin\varphi_0\cos t,\sin\varphi_0\sin t,\cos\varphi_0) $$ 设 $$ \vec{a_0}=\vec{r}_1(\varphi_0,0)=(\cos\varphi_0,0,-\sin\varphi_0), $$ 它表示经线上的切向量，如果写成$\vec{a_0}=a_0^1\vec{r_1}+a_0^2\vec{r_2}$，则$a_0^1=1,a_0^2=1$。现在来求由$\vec{a_0}$沿曲线$\Gamma$平行移动得到的向量场。因为球面的第一基本形式为$I=\mathrm{d}\varphi^2+\sin^2\varphi dt^2$，即$E=1,F=0,G=\sin^2\varphi$，故 $$ \Gamma_{12}^2=\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi},\Gamma_{22}^1=-\sin\varphi\cos\varphi, $$ 其余的$\Gamma_{ij}^k=0$，因为$\Gamma$的参数方程为$u^1(t)=\varphi_0,u^2(t)=t$，故平行移动的方程化为 $$ \begin{cases} \frac{\mathrm{d} a^1}{\mathrm{d}t}-\sin\varphi_0\cos\varphi_0 a^2=0\[2ex] \frac{\mathrm{d} a^2}{\mathrm{d}t}+\frac{\cos\varphi_0}{\sin\varphi_0}a^1=0 \end{cases} $$ 将初始条件$a^1(0)=1,a^2(0)=0$带入得该方程组的解为 $$ a^1(t)=\cos(t\cos\varphi_0),a^2(t)=-\frac{\sin(t\cos\varphi_0)}{\sin\varphi_0}. $$ 所以$\vec{a_0}$沿曲线$\Gamma$平行移动产生的平行向量场为 $$ \vec{a}(t)=\cos(t\cos\varphi_0)\vec{r_1}-\frac{\sin(t\cos\varphi_0)}{\sin\varphi_0}\vec{r_2}. $$ 由此可知$\vec{a}(0)\neq\vec{a}(2\pi)$，即向量$\vec{a_0}$沿曲线$\Gamma$平移一周后未回到原来的位置，特别地，若取$\varphi_0=\frac{\pi}{3}$时，平移一周后$\vec{a}(0)$与$\vec{a}(2\pi)$的方向完全相反，这一点与平面的情况完全不同。由Levi-Civita的定义知，这种平移和路径有关。

Levi-Civita平移的性质：若$\vec{a},\vec{b}$是曲面上沿曲线$\Gamma$的两个向量场，$f$是一个定义在曲线$\Gamma$上的光滑函数，则有

  • $D(\vec{a}+\vec{b})=D(\vec{a})+D(\vec{b})$,
  • $D(f\vec{a})=(df)\vec{a}+fD(\vec{a})$,
  • $d(\vec{a}\cdot\vec{b})=D\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}D\vec{b}$

推论：Levi-Civita平移保持两个向量内积不变

定理：曲面$\Sigma$上一条曲线$\Gamma:u^i=u^i(s)$为测地线的充要条件为它的切向量$\vec{\alpha}(s)$在Levi-Civita平移意义下是相互平行的

定理：单连通曲面$\Sigma$上，Levi-Civita平移与路径无关的充要条件为曲面$\Sigma$的Gauss曲率为0