7.A 自伴算子与正规算子

7.2 伴随

定义:设TL(V,W),T的伴随是满足如下条件的函数T:WV:对所有vV和所有wW均有Tv,w=v,Tw

要想看出上面定义的意义,我们取定wWT,考虑V上将vV映射成Tv,w的线性泛函φ,这个线性泛函依赖于Tw,由李斯表示定理(6.42),V中存在唯一的q使得φ(v)=v,q.现在我们知道了q=Tw. 容易验证,伴随是线性映射.且T的矩阵就是T的矩阵的共轭转置.

7.11 自伴

定义:算子T称为自伴的如果T=T,即Tv,w=v,Tw

伴随在L(V)上的作用犹如复共轭在C上的作用,因此自伴算子可以和实数类比.

7.18 正规

定义:内积空间上的算子T称为正规的,如果它和它的伴随是交换的,即TT=TT

7.20 T是正规的当且仅当对任意 vVTv=Tv

TT=TTTTTT=0(TTTT)v,v=0  TTv,v=TTv,vTv2=Tv2

7.B 谱定理

7.24 复谱定理

F=CTL(V),则以下条件等价:

(a) T是正规的

(b) V有一个由T的本征向量构成的规范正交基

(c) T关于V的某个规范正交基有对角矩阵

(b)和(c)的等价性可由5.41得到.

(c)(a): TV的某个规范正交基下具有对角阵,T的矩阵是其共轭转置,所以T也具有对角阵,二对角阵是交换的,从而T是正规的.

(a)(c):首先由舒尔定理(6.38),V有一个规范正交基e1,e2,,en使得T关于此基由上三角矩阵,即

M(T)=(a11a1n  0amn)

所以 Te12=|a1,1|2Te12=i=1n|a1,i|2. 因为T是正规的,所以 Te12=Te12. 所以M(T)第一行除了a1,1外全部为0.于是 Te22=|a2,1|2+|a2,2|2=|a2,2|2Te22=i=2n|a2,i|2, 因为 Te12=Te12, 所以M(T)第二行除了a2,2外全部为0.如此进行下去,可得M(T)非对角线元素均为0,故T关于V的某个规范正交基有对角矩阵.

7.26 若算子T可逆,且b2<4c,则 T2+bT+cI 是可逆的

7.27V0TL(V)是自伴算子,则T有本征值

V为实内积空间,记 n=dimV,取vVv0v,Tv,T2v,,Tnv 必定线性相关,于是存在不全为零的实数,使得 0=a0v+a1Tv++anTnv 以这些aj为系数作一多项式,并将其分解为(4.17) a0+a1x++anxn=c(x2+b1x+c1)(x2+bMx+cM)(xλ1)(xλm) 其中c为非零实数,bJ24cJ<0,m+M1,所以有

0=a0v+a1Tv++anTnv=c(T2+b1T+c1I)(T2+bMT+cMI)(Tλ1I)(TλmI)v 由7.26,每个T2+TJx+cJ都是可逆的,所以 0=(Tλ1I)(TλmI)v 所以至少有一个j使得TλjI不是单的,也就是说T有本征值.

7.28 自伴算子与不变子空间

TL(V)是自伴的,并设UVT下的不变子空间,则

(a) UT下不变

(b) T|UL(V)是自伴的

(c) T|UL(U)是自伴的

7.29 实谱定理

F=RTL(V),则以下条件等价:

(a) T是自伴的

(b) V有一个由T的本征向量构成的规范正交基

(c) T关于V的某个规范正交基有对角矩阵

(c)(a),(b)(c)显然.

(a)(b),用归纳法证明,dimV=1时显然成立.现设dimV>1,并假设在维数更小的实内积空间上成立.设uT的一个本征向量且u=1,设U=span(u),则UV下不变的一维子空间,由7.28(c),T|UL(U)是自伴的.由归纳假设,U有一个由T|U的 本征向量组成的规范正交基,把u添加进这个规范正交基,就得到了V的一个由T的本征向量组成的规范正交基.

7.C 正算子与等距同构

7.36 每个正算子都有唯一的正平方根

7.37 等距同构 定义:算子T称为等距同构如果对任意vVTv=v.也就是说,算子是等距同构当且仅当它保持范数

7.D 极分解与奇异值分解

我们曾在CL(V)之间做过类比,一个负数对应于一个算子,z¯对应于T,实数对应于自伴算子.注意到非零复数都可以写成z=(z|z|)zz¯,这使我们想到任何算子TL(V)都可以写成等距同构与TT的乘积的形式.

7.45 极分解

TL(V),则有一个等距同构SL(V)使得T=STT

对任意 vV,有 Tv2=TTv,v=TTTTv,v=TTv,TTv=TTv2 定义线性映射S1:rangeTTrangeTS1(TTv)=Tv.

证明的思路是将S1扩张成一个等距同构SL(V)使得T=STT.由于S1是单的,对S1应用线性映射基本定理得 dim rangeTT=dim rangeT 这表明dim (rangeTT)=dim (rangeT).取(rangeTT)的一组规范正交基e1,e2,,em(rangeT)的一组规范正交基f1,f2,,fm,关键是这两组规范正交基长度相同.于是可以定义线性映射S2:(rangeTT) (rangeT)S2(a1e1+a2e2++amem)=a1f1+a2f2++amfm 于是对任意w(rangeTT)S2w=w.SL(V)S|(rangeTT)=S2,S|rangeTT=S1. 由于每一个v都可以唯一地写成 v=u+w 其中urangesqrtTT,w(rangeTT),按照上述定义, Sv=S1u+S2w 所以S(TTv)=S1(TTv)=Tv,所以T=STT,下面只需证明S是等距同构,而由于u,w正交,S1urangeTT,S2w(rangeTT)正交,有 Sv2=S1u2+S2w2=u2+w2=v2 得证.

7.49 奇异值

定义:算子T的奇异值就是TT的本征值,而且每个本征值λ都要重复dim E(λ,TT)

7.51 奇异值分解

设算子T有奇异值,则V有两个规范正交基e1,e2,,enf1,f2,,fn使得对于每个vV都有Tv=s1v,e1f1++snv,enfn

TT应用谱定理可知,有V的规范正交基e1,e2,,en使得对j=1,,nTTej=sjej.对每个vVv=v,e1e1++v,enenTT作用到等式两端,有 TTv=v,e1TTe1++v,enTTen 由极分解定理(7.45)可知,有等距同构SL(V)使得T=STT,再将S作用在上面等式两端,有 Tv=v,e1Se1++v,enSen 对每个jfj=Sej,由于S是等距同构,所以f1,f2,,fn是规范正交基,故 Tv=s1v,e1f1++snv,enfn 奇异值分解给了我们一个难得的机会——对算子矩阵用到两个不同的基,且有

M(T,(e1,e2,,en),(f1,f2,,fn))=(s10  0sn) 也就是说,只要允许我们在处理算子的时候用两个不同的基,那么V上的算子关于V的某些规范正交基总有对角阵.