7.A 自伴算子与正规算子

7.2 伴随

定义：设$T\in L(V,W)$,$T$的伴随是满足如下条件的函数$T^*:W\rightarrow V:$对所有$v\in V$和所有$w\in W$均有$\langle Tv,w\rangle=\langle v,T^*w\rangle$

要想看出上面定义的意义,我们取定$w\in W$与$T$,考虑$V$上将$v\in V$映射成$\langle Tv,w\rangle$的线性泛函$\varphi$,这个线性泛函依赖于$T$与$w$,由李斯表示定理(6.42),$V$中存在唯一的$q$使得$\varphi(v)=\langle v,q\rangle$.现在我们知道了$q=T^*w$. 容易验证,伴随是线性映射.且$T^*$的矩阵就是$T$的矩阵的共轭转置.

7.11 自伴

定义：算子$T$称为自伴的如果$T=T^*$,即$\langle Tv,w\rangle=\langle v,Tw\rangle$

伴随在$L(V)$上的作用犹如复共轭在$\bf{C}$上的作用,因此自伴算子可以和实数类比.

7.18 正规

定义：内积空间上的算子$T$称为正规的,如果它和它的伴随是交换的,即$TT^*=T^*T$

7.20 $T$是正规的当且仅当对任意 $v\in V$有$\Vert Tv\Vert=\Vert T^*v\Vert$

$$ TT^*=T^*T\iff TT^*-T^*T=0 \iff \langle (TT^*-T^*T)v,v\rangle=0 \ $$ $$ \iff \langle T^*Tv, v\rangle=\langle TT^*v,v\rangle\iff \Vert Tv\Vert^2=\Vert T^*v\Vert^2 $$

7.B 谱定理

7.24 复谱定理

设 $\bf{F}$=$\bf{C}$ 且$T\in L(V)$,则以下条件等价：

(a) $T$是正规的

(b) $V$有一个由$T$的本征向量构成的规范正交基

(c) $T$关于$V$的某个规范正交基有对角矩阵

(b)和(c)的等价性可由5.41得到.

(c)$\rightarrow$(a)： $T$在$V$的某个规范正交基下具有对角阵,$T^*$的矩阵是其共轭转置,所以$T^*$也具有对角阵,二对角阵是交换的,从而$T$是正规的.

(a)$\rightarrow$(c)：首先由舒尔定理(6.38),$V$有一个规范正交基$e_1,e_2,…,e_n$使得$T$关于此基由上三角矩阵,即

$$ M(T)=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \
\vdots & \ddots & \vdots \
0 & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix} $$

所以 $$ \Vert Te_1\Vert^2=|a_{1,1}|^2 $$ 且 $$ \Vert T^*e_1\Vert^2=\sum_{i=1}^{n}|a_{1,i}|^2. $$ 因为$T$是正规的,所以 $$ \Vert Te_1\Vert^2=\Vert T^*e_1\Vert^2. $$ 所以$M(T)$第一行除了$a_{1,1}$外全部为0.于是 $$ \Vert Te_2\Vert^2=|a_{2,1}|^2+|a_{2,2}|^2=|a_{2,2}|^2 $$ 且 $$ \Vert T^*e_2\Vert^2=\sum_{i=2}^{n}|a_{2,i}|^2, $$ 因为 $$ \Vert Te_1\Vert^2=\Vert T^*e_1\Vert^2, $$ 所以$M(T)$第二行除了$a_{2,2}$外全部为0.如此进行下去,可得$M(T)$非对角线元素均为0,故$T$关于$V$的某个规范正交基有对角矩阵.

7.26 若算子$T$可逆,且$b^2<4c$,则 $T^2+bT+cI$ 是可逆的

7.27 设$V\neq{0}$且$T\in L(V)$是自伴算子,则$T$有本征值

设$V$为实内积空间,记 $n=\rm{dim} V$,取$v\in V$且$v\neq 0$则 $$ v,Tv,T^2v,…,T^nv $$ 必定线性相关,于是存在不全为零的实数,使得 $$ 0=a_0v+a_1Tv+\cdots+a_nT^nv $$ 以这些$a_j$为系数作一多项式,并将其分解为(4.17) $$ a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=c(x^2+b_1x+c_1)\cdots(x^2+b_Mx+c_M)(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_m) $$ 其中$c$为非零实数,$b_J^2-4c_J<0$,$m+M\geq 1$,所以有

$$ 0=a_0v+a_1Tv+\cdots+a_nT^nv=c(T^2+b_1T+c_1I)\cdots(T^2+b_MT+c_MI)(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_mI)v $$ 由7.26,每个$T^2+T_Jx+c_J$都是可逆的,所以 $$ 0=(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_mI)v $$ 所以至少有一个$j$使得$T-\lambda_jI$不是单的,也就是说$T$有本征值.

7.28 自伴算子与不变子空间

设$T\in L(V)$是自伴的,并设$U$是$V$在$T$下的不变子空间,则

(a) $U^{\bot}$在$T$下不变

(b) $T|_{U}\in L(V)$是自伴的

(c) $T|_{U^\bot}\in L(U^\bot)$是自伴的

7.29 实谱定理

设 $\bf{F}$=$\bf{R}$ 且$T\in L(V)$,则以下条件等价：

(a) $T$是自伴的

(b) $V$有一个由$T$的本征向量构成的规范正交基

(c) $T$关于$V$的某个规范正交基有对角矩阵

(c)$\rightarrow$(a),(b)$\rightarrow$(c)显然.

(a)$\rightarrow$(b),用归纳法证明,$\rm{dim}V=1$时显然成立.现设$\rm{dim}V>1$,并假设在维数更小的实内积空间上成立.设$u$是$T$的一个本征向量且$\Vert u\Vert=1$,设$U=\rm{span}(u)$,则$U$是$V$下不变的一维子空间,由7.28(c),$T|_{U^\bot}\in L(U^\bot)$是自伴的.由归纳假设,$U^\bot$有一个由$T|_{U^\bot}$的 本征向量组成的规范正交基,把$u$添加进这个规范正交基,就得到了$V$的一个由$T$的本征向量组成的规范正交基.

7.C 正算子与等距同构

7.36 每个正算子都有唯一的正平方根

7.37 等距同构 定义：算子$T$称为等距同构如果对任意$v\in V$有$\Vert Tv\Vert=\Vert v\Vert$.也就是说,算子是等距同构当且仅当它保持范数

7.D 极分解与奇异值分解

我们曾在$\bf{C}$与$L(V)$之间做过类比,一个负数对应于一个算子,$\overline{z}$对应于$T^*$,实数对应于自伴算子.注意到非零复数都可以写成$z=(\frac{z}{|z|})\sqrt{z\overline{z}}$,这使我们想到任何算子$T\in L(V)$都可以写成等距同构与$\sqrt{T^*T}$的乘积的形式.

7.45 极分解

设$T\in L(V)$,则有一个等距同构$S\in L(V)$使得$T=S\sqrt{T^*T}$

对任意 $v\in V$,有 $$ \Vert Tv\Vert^2=\langle T^*Tv,v\rangle=\langle \sqrt{T^*T}\sqrt{T^*T}v,v\rangle=\langle \sqrt{T^*T}v,\sqrt{T^*T}v\rangle=\Vert \sqrt{T^*T}v\Vert^2 $$ 定义线性映射$S_1:\rm range\sqrt{\it{T^{*}T}}\rightarrow \rm range \it T$ 为$S_1(\sqrt{T^*T}v)=Tv$.

证明的思路是将$S_1$扩张成一个等距同构$S\in L(V)$使得$T=S\sqrt{T^*T}$.由于$S_1$是单的,对$S_1$应用线性映射基本定理得 $$ \rm dim\ range\it \sqrt{T^*T}=\rm dim\ range\it T $$ 这表明$\rm dim\ (range\it \sqrt{T^*T}\rm )^{\bot}=\rm dim\ (range\it T\rm )^{\bot}$.取$(range\it \sqrt{T^*T}\rm )^{\bot}$的一组规范正交基$e_1,e_2,…,e_m$和$(range\it T\rm )^{\bot}$的一组规范正交基$f_1,f_2,…,f_m$,关键是这两组规范正交基长度相同.于是可以定义线性映射$S_2:(range\it \sqrt{T^*T}\rm )^{\bot}\rightarrow \ (range\it T\rm )^{\bot}$为 $$ S_2(a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_me_m)=a_1f_1+a_2f_2+\cdots+a_mf_m $$ 于是对任意$w\in (range\it \sqrt{T^*T}\rm )^{\bot}$有 $$ \Vert S_2w\Vert=\Vert w\Vert.$$ 设$S\in L(V)$且 $$ S|_{(\rm range\it \sqrt{T^*T}\rm )^{\bot}}=S_2,S|_{\rm range\it \sqrt{T^*T}}=S_1. $$ 由于每一个$v$都可以唯一地写成 $$ v=u+w $$ 其中$u\in \rm range\it sqrt{T^*T}$,$w\in (\rm range\it \sqrt{T^*T}\rm )^{\bot}$,按照上述定义, $$ Sv=S_1u+S_2w $$ 所以$S(\sqrt{T^*T}v)=S_1(\sqrt{T^*T}v)=Tv$,所以$T=S\sqrt{T^*T}$,下面只需证明$S$是等距同构,而由于$u,w$正交,$S_1u\in \rm range\it \sqrt{T^*T},S_2w\in (\rm range\it \sqrt{T^*T}\rm )^{\bot}$正交,有 $$ \Vert Sv\Vert^2=\Vert S_1u\Vert^2+\Vert S_2w\Vert^2=\Vert u\Vert^2+\Vert w\Vert^2=\Vert v\Vert^2 $$ 得证.

7.49 奇异值

定义：算子$T$的奇异值就是$\sqrt{T^*T}$的本征值,而且每个本征值$\lambda$都要重复$\rm{dim}\ E(\lambda,\sqrt{T^*T})$次

7.51 奇异值分解

设算子$T$有奇异值,则$V$有两个规范正交基$e_1,e_2,\cdots,e_n$和$f_1,f_2,\cdots,f_n$使得对于每个$v\in V$都有$Tv=s_1\langle v,e_1\rangle f_1+\cdots+s_n\langle v,e_n\rangle f_n$

对$\sqrt{T^*T}$应用谱定理可知,有$V$的规范正交基$e_1,e_2,\cdots,e_n$使得对$j=1,\cdots ,n$有$\sqrt{T^*T}e_j=s_je_j$.对每个$v\in V$有 $$ v=\langle v,e_1 \rangle e_1+\cdots+\langle v,e_n \rangle e_n $$ 将$\sqrt{T^*T}$作用到等式两端,有 $$ \sqrt{T^*T}v=\langle v,e_1 \rangle \sqrt{T^*T}e_1+\cdots+\langle v,e_n \rangle \sqrt{T^*T}e_n $$ 由极分解定理(7.45)可知,有等距同构$S\in L(V)$使得$T=S\sqrt{T^*T}$,再将$S$作用在上面等式两端,有 $$ Tv=\langle v,e_1 \rangle Se_1+\cdots+\langle v,e_n \rangle Se_n $$ 对每个$j$设$f_j=Se_j$,由于$S$是等距同构,所以$f_1,f_2,\cdots,f_n$是规范正交基,故 $$ Tv=s_1\langle v,e_1\rangle f_1+\cdots+s_n\langle v,e_n\rangle f_n $$ 奇异值分解给了我们一个难得的机会——对算子矩阵用到两个不同的基,且有

$$ M(T,(e_1,e_2,\cdots,e_n),(f_1,f_2,\cdots,f_n))=\begin{pmatrix}
s_1 & \cdots & 0 \
\vdots & \ddots & \vdots \
0 & \cdots & s_n
\end{pmatrix} $$ 也就是说,只要允许我们在处理算子的时候用两个不同的基,那么$V$上的算子关于$V$的某些规范正交基总有对角阵.