7.A 自伴算子与正规算子
7.2 伴随
定义:设,的伴随是满足如下条件的函数对所有和所有均有
要想看出上面定义的意义,我们取定与,考虑上将映射成的线性泛函,这个线性泛函依赖于与,由李斯表示定理(6.42),中存在唯一的使得.现在我们知道了.
容易验证,伴随是线性映射.且的矩阵就是的矩阵的共轭转置.
7.11 自伴
定义:算子称为自伴的如果,即
伴随在上的作用犹如复共轭在上的作用,因此自伴算子可以和实数类比.
7.18 正规
定义:内积空间上的算子称为正规的,如果它和它的伴随是交换的,即
7.20 是正规的当且仅当对任意 有
7.B 谱定理
7.24 复谱定理
设 = 且,则以下条件等价:
(a) 是正规的
(b) 有一个由的本征向量构成的规范正交基
(c) 关于的某个规范正交基有对角矩阵
(b)和(c)的等价性可由5.41得到.
(c)(a): 在的某个规范正交基下具有对角阵,的矩阵是其共轭转置,所以也具有对角阵,二对角阵是交换的,从而是正规的.
(a)(c):首先由舒尔定理(6.38),有一个规范正交基使得关于此基由上三角矩阵,即
所以
且
因为是正规的,所以
所以第一行除了外全部为0.于是
且
因为
所以第二行除了外全部为0.如此进行下去,可得非对角线元素均为0,故关于的某个规范正交基有对角矩阵.
7.26 若算子可逆,且,则 是可逆的
7.27 设且是自伴算子,则有本征值
设为实内积空间,记 ,取且则
必定线性相关,于是存在不全为零的实数,使得
以这些为系数作一多项式,并将其分解为(4.17)
其中为非零实数,,,所以有
由7.26,每个都是可逆的,所以
所以至少有一个使得不是单的,也就是说有本征值.
7.28 自伴算子与不变子空间
设是自伴的,并设是在下的不变子空间,则
(a) 在下不变
(b) 是自伴的
(c) 是自伴的
7.29 实谱定理
设 = 且,则以下条件等价:
(a) 是自伴的
(b) 有一个由的本征向量构成的规范正交基
(c) 关于的某个规范正交基有对角矩阵
(c)(a),(b)(c)显然.
(a)(b),用归纳法证明,时显然成立.现设,并假设在维数更小的实内积空间上成立.设是的一个本征向量且,设,则是下不变的一维子空间,由7.28(c),是自伴的.由归纳假设,有一个由的 本征向量组成的规范正交基,把添加进这个规范正交基,就得到了的一个由的本征向量组成的规范正交基.
7.C 正算子与等距同构
7.36 每个正算子都有唯一的正平方根
7.37 等距同构
定义:算子称为等距同构如果对任意有.也就是说,算子是等距同构当且仅当它保持范数
7.D 极分解与奇异值分解
我们曾在与之间做过类比,一个负数对应于一个算子,对应于,实数对应于自伴算子.注意到非零复数都可以写成,这使我们想到任何算子都可以写成等距同构与的乘积的形式.
7.45 极分解
设,则有一个等距同构使得
对任意 ,有
定义线性映射 为.
证明的思路是将扩张成一个等距同构使得.由于是单的,对应用线性映射基本定理得
这表明.取的一组规范正交基和的一组规范正交基,关键是这两组规范正交基长度相同.于是可以定义线性映射为
于是对任意有
设且
由于每一个都可以唯一地写成
其中,,按照上述定义,
所以,所以,下面只需证明是等距同构,而由于正交,正交,有
得证.
7.49 奇异值
定义:算子的奇异值就是的本征值,而且每个本征值都要重复次
7.51 奇异值分解
设算子有奇异值,则有两个规范正交基和使得对于每个都有
对应用谱定理可知,有的规范正交基使得对有.对每个有
将作用到等式两端,有
由极分解定理(7.45)可知,有等距同构使得,再将作用在上面等式两端,有
对每个设,由于是等距同构,所以是规范正交基,故
奇异值分解给了我们一个难得的机会——对算子矩阵用到两个不同的基,且有
也就是说,只要允许我们在处理算子的时候用两个不同的基,那么上的算子关于的某些规范正交基总有对角阵.